[공업수학] 1-1 Basic Concepts. Modeling

주변의 문제들은 시간에 따라 변한다.

미분은 시간에 따른 변화율이다.

그래서 미분이 포함된 미분 방정식으로 표현식을 찾게 된다.

ex)시간에 따른 몸무게 변화

 

공업수학의 목적

미분방정식을 어떻게 하면 잘 구할 수 있는가를 다룬다

미분방정식의 풀이를 구하는 과정

 

Function : 함수

정의역과 치역의 대응관계

방정식 : 정의역을 찾고자 하는 것

미정계수 결정법 : 함수를 찾고자 하는 것 ex)일반항을 찾는 문제

 

System : 체계적인 것

ex)인사 시스템

시스템은 함수다.

정해진 입력에 대해 정해진 출력이 나오는 것

 

Modeling 

어떠한 대상을 모사할 수 있는 수학적 표현(미분 방정식)을 찾는 과정

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ODEs : Ordinary Differential Equations : 상미분방정식

ex)dt/dx

미분에 관련된 변수가 1개 있는 방정식

미분을 한 번만 했다는 것이랑 다르다

 

PDEs : Partial Differential Equations : 편미분방정식

미분에 관련된 변수가 2개 이상인 방정식

ex)시간과 위치에 따른 온도

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y'=dy/dx (미분) 라고 사용된다

 

*미분방정식의 차수

first order : 1차 : y'

second order : 2차 : y'' 

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implicit form

모든 변수들이 한 쪽으로 다 몰려있음

ex)y-x2-1=0

explicit form

y'이 명시적으로 나타남

ex)y=x2+1

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미분방정식을 푼다 : solve

->미분 방정식을 만족시키는 y를 찾아낸다

Solution = solve를 한 결과  =  해

open interval(양 끝점이 포함되지 않는 것) 에서 적용 -> 양 끝점이 존재하면 미분이 불가능해지기 때문

 

Solution curve 

solution의 그래프

c(적분상수)에 따라 달라지는 solutions

Solution set= Solution space = family of solutions = family solution

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General Solution : 일반해

Solution set의 모든 해들을 대표하는 solution

 

Particular Solution  : 특이해

특별하게 한 점을 (특별한 조건) 만족시키는 solution

particular solution을 구하기 위하는 방법

먼저 general solution을 찾고 특별한 조건 대입

조건은 여러 형태로 존재할 수 있다

일반적으로 조건을 주는 두 가지 형태가 있다.

1. initial condition->이런 문제를 initall value problem 이라고 한다

2. boundary condition(뒤쪽에 나옴)